جزوه آنالیز حقیقی رشته ریاضی کاربردی

دسته بندي : علوم پایه » ریاضی

جزوه  آنالیز حقیقی رشته ریاضی کاربردی

آنالیز حقیقی کتاب های خلاصه منابع رشته ریاضی کاربردی   

فهرست مطالب 
فصل اول: مفهوم اندازه پذیري
فصل دوم: اندازه هاي بورل مثبت.
فصل سوم: فضاهاي کلاسیک باناخ
فصل هفتم: فضاهاي متریک.

فصل اول: مفهوم اندازه پذیري
1.1 اندازهي لبگ روي خط حقیقی
تعریف 10101 فرض کنیم x یک مجموعهي دلخواه باشد. گردایهي M از زیرمجموعهي x را یک s- جبر در x
گوییم هرگاه:
 X ÎM (a)
آنگاه ، A ÎM اگر (b)
c
 A ÎM
{ } اگر (c) n n 1 A
¥
=
n گردایهي شمارایی از عناصر M باشد، آنگاه

 U ÎM
(اگر بهجاي گردایهي شمارا در شرط (c) فقط گردایهي متناهی مدنظر باشد، دراینصورت M را جبر در x گوییم.)
تذکر: (1)
c
 Æ = - x x x = ÎM
اگر (2) A1 2 n آنگاه ، ,A ,L,A ÎM
n
i 1 2 n
i 1
A A A A
=
 U = U ULU U Æ U Æ Î UL M
(3) اگر ( )
n
 آنگاه ، n = Î 1,2, A L M


واضح است که هر s- جبري یک جبر است و نه برعکس.
تمرین: جبري بسازید که s- جبر نباشد.
مثالها:
( ) (a) x
 .(X در جبر -s بزرگترین) 2 x = P
 .(X در جبر -s کوچکترین) M = Æ {X, } (b)
قضیه 20101 فرض کنیم F گردایهاي از زیرمجموعههاي X باشد. در اینصورت کوچکترین s- جبر (منحصر بفرد)
حاوي F وجود دارد. آنالیز حقیقی «7»
 
M یک s- جبر در X و حاوي F است
Fn است هر
بسته
On است هر
بسته
برهان.
 
W = {M : }
*

*M به وضوح هر s- جبر حاوي F حاوي
*M یک است. کافی است نشان دهیم
s- جبر است. فرض کنیم

لذا .(n = Î 1,2, A L) n M آنگاه ،باشد دلخواه
W اگر. n = Î 1,2, A L M


. دو شرط دیگر s- جبر بودن به طریق مشابه ثابت میشود.
s-جبر بورل (مجموعههاي بورل)
تعریف 30101 فرض کنیم X یک فضاي توپولوژیکی باشد. کوچکترین s- جبر حاوي مجموعههاي باز را s- جبر
با بهاختصار B نمایش میدهند. ( s- جبر بورل، کوچکترین s- جبرحاوي Bx بورل در X مینامند و آن را به
مجموعههاي بسته است.)
تمرین: نشان دهید که عدد اصلی (کاردینالیتی) مجموعههاي بورل در ¡ ، c است.
تمرین: آیا s- جبر نامتناهی ولی شمارا وجود دارد؟
قرار میدهیم
é ù
= - Î ê ú ë û U F
æ ö
= ç ÷ - Î è ø I
همچنین قرار میدهیم «8» مجموعه ریاضی
یک بازه در
= F F sd s گردایه اشتراك

 

اندازه ي لبگ بر خط حقیقی
تعریف 60101 زیرمجموعهي E از خط حقیقی را لبگ- اندازهپیر گوییم هرگاه بهازاي هر مجموعهي A داشته باشیم
* * * c c m A = m (A E) + m (A E ) (E = E = - E) I I ¡ %
 
همواره داریم
c * * * c
 A = (A I E)U (A I E ) Þ m A £ + m (A I I E) m (A E )
بنابراین مجموعهي E اندازهپذیر است اگر و تنها اگر
* * * c
 m A ³ + m (A I I E) m (A E )
نتایج:
1- مجموعههاي ¡ و Æ لبگ اندازهپذیرند. زیرا:
* * c *
A 0
m (A I ¡) + = m (A I ¡ ) m A 14243 14243
 
پس ¡ اندازهپذیر است.
2- چون تعریف نسبت به E و
c
E متقارن است لذا اگر E اندازهپذیر باشد
c
E نیز اندازهپذیر است.
3- فرض کنیم M بهصورت زیر تعریف شده باشد. ثابت میکنیم که M یک s- جبري است.
 M = {E : E}
دو خاصیت اول بهوضوح ثابت میشوند، زیرا ÎM ¡ و اگر E ÎM ، آنگاه
c
E ÎM. کافی است خاصیت سوم را
اثبات نماییم.
E1 لم 70101 اگر
E2 و
E E 1 2 U اندازهپذیر است. اندازهپذیر باشند، آنگاه
برهان. فرض کنیم A یک مجموعهي دلخواه باشد، داریم:

دسته بندی: علوم پایه » ریاضی

تعداد مشاهده: 3096 مشاهده

فرمت فایل دانلودی:.zip

فرمت فایل اصلی: pdf

تعداد صفحات: 175

حجم فایل:3,141 کیلوبایت

 قیمت: 35,000 تومان
پس از پرداخت، لینک دانلود فایل برای شما نشان داده می شود.   پرداخت و دریافت فایل
  • محتوای فایل دانلودی:
    نوع فایل:Pdf
    سایز: 3.06
    تعداد صفحه:175